早点关注我，不要错过精彩！
（德国队的情况分析在文末，可以直接跳转。）
北京时间今晚11点，如火如荼进行的卡塔尔世界杯小组赛第三轮的争夺将打响。 8个小组将轮流同时进行最后一轮比赛，以确定出线权和淘汰赛安排。
相较于淘汰赛阶段要么赢要么回家的兴奋，世界杯小组赛更像是一场表演和狂欢，没有一场比赛决定胜负。 但世界杯不是联赛。 采用4队单循环赛制。 3场小组赛的每一场比赛，甚至每一个进球或失球，都关系到其他所有人的命运。
每当小组赛进行到最后阶段，各路媒体评论员都开始期待小组出线的情况。 6场比赛看似简单的结果，却总能呈现出非常复杂的局面。 有时解说员的评价可能是片面的，或者球迷很难在短时间内了解本质的比赛关系，这会影响对比赛走势的判断和球迷的财力。
趁着最后一轮小组赛在即，我决定用理智研究清楚：作为4比2的世界杯小组赛，一共可能会出现什么情况； 在每种情况下，每个团队的战略目标究竟是什么？
希望我的研究成果能对大家看世界杯有所帮助！
世界杯小组赛比赛模型
除了田径是挑战自我，几乎所有的竞技项目都可以归为电竞项目。 即有多个agent参与者，每个agent都有自己要最大化的效用函数，最终的效用结果是每个人策略的函数。 在数学上，用博弈论来研究它们，用博弈模型来建模分析。
以下是世界杯小组赛四支球队一组的比赛过程建模：
参加者：
每组4支球队编号为1、2、3、4。
游戏过程：
按照官方赛程，每组进行3轮6场比赛。 不失一般性，可设为：
第一轮：1对2、3对4；
第二轮：1对3、2对4；
第三轮：1对4、2对3；
注：赛程设计只需要满足各队每轮比赛并最终完成循环的要求即可。 这里，设计距离为1、2、3的队伍每轮比赛，队伍编号的值为mod4。 由于球队人数的对称性，这不失一般性，符合现有赛程的规则。
因此，仅考虑每场比赛比分结果的粒度，整个小组赛比赛过程将经历6种情况和5种情况变化。 设初始情况状态（以下简称情况）为S0，其中依次进行前两轮的四场比赛，得到四种不同的情况S1：4，后两场比赛后得到的情况S5同时进行的是最后一场比赛。 每轮每场比赛记录双方进球数、红黄牌信息，累计计算即为当前情况；
效用目标函数：每支队伍经过3轮6场比赛进入决赛S5，希望获得最佳出线形势。 假设所有团队依次优先考虑以下残局优势：
1、能够在规定的积分等排名规则中获得前两名的资格；
2、能够选择最有利的晋级岗位；
3.使对方球队无法出线或处于不利的出线位置；
注：排位赛规则：
依次看下面的指标，相同的继续看同组的下一个指标：
1.积分（胜3分，平1分，负0分）
2.总净胜球
3. 总进球数
4. 输赢
5.净胜球
6. 总进球数
7.公平竞赛积分（黄1，两黄变一红3，红4，黄+红5，所有游戏和玩家累计）
8. 抽签
假设：
1、不去分析足球的策略，在一场比赛的某种情况下是否能达到，而只分析某种情况下向前一步的最优情况；
2、小组赛从S4到S5，最后一轮两场比赛同时进行的比赛过程是不完全信息博弈。 两场比赛的球员在比赛中无法交流和讨论，也不知道比赛情况，同时开始和结束；
3.前两轮4场比赛，无论是最好的名次，还是战胜其他对手的情况，各队唯一的战略目标就是尽力取胜打平，确保小组出线; （其实可能还有净胜球、进球数、红黄牌数的考虑，但在战略目标达成后并不直接矛盾，因此简化对实战战略的影响，忽略不计)
4. 由于游戏中的进球顺序，没有互相发送进球的策略，因为没有第三方来保证它的顺利进行；
注：假设 3 成立的一个直观原因是，在第二轮本方比赛开始前，没有球队能够获得小组出线权。 因此，在本轮比赛之前，模糊的策略就是以赢分优先，挤占排名优势为重中之重的策略。 除非对对方的策略和自己的排名目标有明确的预判，否则此时不值得考虑其他因素。
证明：没有球队能在自己的第二轮比赛前获得小组出线权。
第一轮比赛还没有开始。 如果全部输掉，他们肯定无法出线。 接下来考虑第二轮。 因为在第二轮开始之前，在第三局比赛准备开始前的S2状态下，最好的情况就是赢下对手积累3分，而如果后面的比赛全败，净胜球则最差（不一定要求是最坏的情况，存在即可），那么他输掉的两支球队的积分都不会比他低，所以无法保证小组出线。 （通过缩放法估计）
假设3，由于前两轮4场比赛的战略目标是固定的，任何情况都不会影响球队比赛结果的战略目标。 因此，我们可以直接分析前两轮的情况，即第三轮同时开始前的情况S4，包括可能的情况和最终的情况，以及它们之间的联系关系，从而来分析当时各队的情况。 战略目标和出线情况。 同样基于假设4，此时的情况只与胜负关系有关，所以下面只分析胜负情况，其他比分和红黄牌情况必要时再分析。
我将在下面清楚地发布所有分析结果以及使用方法和案例。 相信我，有了这款表，不用再听解说员分析半天了。 “如果德国队是XXX，那么日本队就是XXX世界杯小组出线几个队，但如果德国队不配合XXX，那么西班牙队就是XXX。” 不适合用自然语言来描述，也适合用数学结构来描述。
第一轮结束时的积分情况S2
第一轮，4支队伍全部出场，双人对战。 那么情况就比较简单了，一共有以下三种情况：
其中，情况按此时平局局数分类，标在左上角，队号为1~4，“—”表示平局，→所指的一方为胜方, 来源是失败者。
这种情况比较简单，因为一共只有4支球队，2场比赛，每队一场比赛，你可以通过枚举平局的场数来推算。 它关于任何队的排列都是对称的，顺时针旋转一次得到队号排列。 圆圈中的1~4作为代表数，表示获得的局数为上下局（1vs2、4vs3）结果的最小值，以及胜负关系依次比较排列的结果。
第二回合结束时的积分情况S4
到第二轮结束，一共进行4场比赛。 根据每支球队每一轮都打过的事实，很容易证明完成循环的要求。 此时的匹配结构是满足D4对称性的正方形。 因此，我还是以1~4的队号顺时针轮换作为队号的代表排列。 完成的4场比赛的对手恰好对应正方形的4条边，分别是：
= (1vs2, 2vs3, 3vs4, 4vs1)。
从假设3来看，我们不需要去分析S2->S4各队的战略目标，因为此时都是求和。 因此，直接给出S4情况下的所有可能情况，为下面的分析做准备：
共有15种情况（15个等价类，对应3^4=81个游戏结果元素），按照平局数0~4进行分类，也就是中设定的两个玩家对局的结果，和- 1表示前者输，1表示赢，0表示平。 用ascii码画出所有可能的不对称情况，“—”表示平局，→所指的一方为赢，为输，取所有对称情况中值最小的一方。 根据D4组的结构，对它的所有改变情况的操作都是等价情况。
怎么样，对比一下吧。 2轮过后，你关心的组会在以上几种情况中，哪个号码相当于你关心的队伍？
S5小组赛最终积分情况
激动人心的结局即将到来。 如果S4中的情况比较简单，你可以耐心和手工计算画出来。 但是在S5的情况下，4支队伍之间相互竞争。 这里 游戏可能的结果总数为 3^6 = 729，有多少种对称的等价情况？
注意，因为两队之间存在边际联系，所以此时两队的对战关系是完全解析对称的S4结构，也符合预期。 所有比赛打完之后，大家的赛程应该是对称的。 公平的。 如果把队伍看成一个固定点，把战斗关系看成边，这是一个三角锥，但是三角锥的对称性是A4，因为刚体不能进行镜像变换，但是战斗关系在足球小组赛结束就可以了！
这种三角金字塔结构手工画起来太麻烦，又不好用ascii码表示，所以我设置代表数组为：
= (1vs2, 1vs3, 1vs4, 2vs3, 2vs4, 3vs4)
因此，可以用一张6元来表达所有游戏的输赢关系。 还是对前队，-1表示前者输，1表示赢，0表示平。 完整结果如下（仍按抽签次数排序）：
小组赛决赛共有42场不同的输赢场次。 如果仔细观察形势和最后的积分，你会发现很多之前困扰你的小组赛出线问题都已经解决了。
例如：最少得多少分才有资格小组出线？ 积分最少的一定能出组？
这么简单的问题我就不回答了，大家去看图抓bug。
还有一个有意思的地方，就是积分顺序相同的两场比赛的结果一定是一样的吗？
以前就算是动脑筋破天也想不出来。 那是因为大脑真的在一些大范围的问题上不知所措。 在这里你可以直接找到答案：
如果按点数顺序排列，一共有40种，其中有两种是多局结果的情况。 有兴趣的同学可以用对角线画出对应的三角金字塔或正方形游戏结果图进行分析。 共同点和不同点。
第二局形势S4到决赛S5的比赛比分表
有了以上的铺垫，我们终于可以回答那个问题了：德国队最后一轮的出线形势如何？
在S4的每一种情况下，我们都在9轮总决赛第三轮的3*3战略目标下绘制了所有的最终点：
（是S4比赛的结果，是比分情况，每一行是1vs3对决的结果，每一列是2vs4对决的结果，表中的数值是最后的比分情况，最后的结果括号中是对应的最终分析在S6比赛中的40场总决赛的场次和场次，需要重新排列以匹配球队，不过是等价的情况）
德国队出线情况如何？ 有可能被西班牙淘汰吗？
有了这个强大的比赛分析工具，我们要分析小组赛最后一轮的出线情况就一目了然了。
注意，根据排位赛规则，当大量积分打平时，需要比较进球数、红黄牌等因素。 主要问题解决后，可以详细查看案例中的进球数和红黄牌； 同时可以开始考虑每个小组除了出线之外的其他目标，比如排名和击杀其他对手（这里有一个不公平的因素就是每个小组的最终到达时间不一样，所以越靠后的队伍越有可能选择靠后的对手（优势）。 此外，纯策略下完全不完善的双人博弈模型的均衡策略分析方法也可以充分利用分析各队的出线情况，以及是否可能因为特殊情况而出现一些有趣的默契球。 发生了，很有趣。
下面以E组S4出线情况分析为例，说明一下这张表的使用方法。 以下为本场比赛比分图：
根据前两轮的成绩数据，很容易分析出S4的情况如下图所示：
其中1~4为1：德国(-1, 2)； 2：日本 (0, 2)； 3：哥斯达黎加（-6、1）； 4：西班牙（7、8），括号内为净胜球和进球数。
拿出此时的情况转移图：
行中的 1vs3 是：德国 vs 哥斯达黎加，列中的 2vs4 是：日本 vs 西班牙。
我们先来看德国队。 如果你输了（表格中的第 1 行），你必须因为积分而出局； 如果你画画，也是如此； 如果赢了，日本也输了，只能保证小组第二晋级； 如果日本打平，则需要对方净胜球等进入以下比较； 如果日本获胜，需要与西班牙比较净胜球才能决定晋级。
因为此前西班牙7:0哥斯达黎加，净胜球优势巨大，所以最后的情况极有可能被淘汰； 而日本战平，净胜球依然为0，而德国需要2+的净胜球才能确保出线，而净胜球为2的时候，就要看双方上一场比赛的进球比值了。 如果相同，日本将凭借胜负晋级。
基于以上，德国必须在确保2+净胜球或足够进球数的情况下争取胜利，这是其唯一的战略目标。 根据效用函数假设，放弃获胜而考虑击杀其他队伍的可能性很小。
再来看看日本队2。 如果您输了（表中的第 1 列），无论其他结果如何，您都不能获得资格； 如果你打平，如果德国输了，你就不能出线； 德国需要与哥斯达黎加争夺小组第二名，如果德国获胜，将与净胜球进行比较； 赢球就必须出线，只有德国队输了，才会和哥斯达黎加比较净胜球，其余小组第一。
所以，日本队的策略是赢下比赛，平局要争取最多进球，没有进球的可能。
再看3哥。 如果日本队赢球，就必须小组出线。 如果日本队也赢球，他们将以净胜球争夺小组头名世界杯小组出线几个队，其他人将获得小足球第一名； 通常只有日本队在输球时才能获得小组第二的资格。 在其他时候，他们需要更加网络化。 赢球，争夺小组第二； 如果你丢了球，你就不能出线。
所以，哥斯达黎加赢下比赛是一种策略，平局不可能进更多的球。
最后看4西班牙。 一场胜利势必获得小组第一的资格。 平局只是在德国输球的情况下小组第二。 在其他情况下，它是小组中的第一名。 如果德国队输掉比赛，他们将无法出线。 第二次排位赛。
因此，输球对西班牙来说是一种策略，需要避免，而且在保证出线的情况下，如果分析表明小组第二的后续淘汰赛程更有利（在部分小组出线的情况下）之前的出线成绩和其他小组的情况都知道），那么西班牙有小概率为了追平而加强防守，从而获得小组第二的机会。 德国虽然肯定无法出线，但为了胜利更加不懈地去摧毁西班牙的战略目标，也就是效用函数的第三层，用仇恨消灭敌人，这与自己的第一目标并不矛盾排位赛。
而且要知道，默契是一件非常难画的东西。 根据假设4，没有人会在球场上冒这样的风险。 所以综合来看，西班牙还是会选择踢球，而不是赢球。
综上所述，德国队没有被西班牙队淘汰的风险，各支球队都将竭尽全力争取赢球和平局，以确保出线的最有利局面。
下次见！
当然，默契球并不是在任何情况下都完全没有。 大家不妨用我给的数据表来对比分析一下你感兴趣的其他组别和队伍，看看他们的排位情况如何，有没有什么特殊情况。 违反常识的有趣策略发生了。
好了，今天就到这里。 因为世界杯的到来让我重新开始了对一道数学题的思考，把结果给大家应该是我最开心的事情。 由于时间关系，本文着重介绍形势分析法在世界小组赛最后一轮的实战结果。 在计算这个组合的过程中，还有很多数学值得挖掘，更多的思考和感悟比如计算机，对这个结果做进一步的分析和讨论。 我会整理出来，在下一个系列中呈现给大家。 留见！
预知整个世界杯的未来，祝你好运！
我们是谁：
，中文“数学魔术师”，原指运用数学设计魔术的魔术师和数学家。 它既取其本意用数学来变魔术，又取像玩魔术一样玩数学的意思。 文章内容涵盖互联网、计算机、统计、算法、NLP等前沿数学及应用领域； 还包括魔术创意、过程欣赏等魔术内容； 以及结合两者的数学魔法分享，以及一些思辨的闲聊文。 希望你能和我一起，感性思考，理性思考，享受生活的乐趣。 欢迎扫描二维码关注并在文末或公众号留言与我交流！
扫描二维码
关注更多精彩
